H ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΣΤΑΘΕΙΑ ΤΟΥ HENRI POINCARE

 

 

Η δυναμική αστάθεια αναφέρεται σε μια ειδική συμπεριφορά στον χρόνο η οποία συναντάται σε ορισμένα φυσικά συστήματα και ανακαλύφθηκε γύρω στο έτος 1900, από τον φυσικό Henri Poincare O Poincare ήταν ο φυσικός που ενδιαφέρθηκε για τις μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο (Lucas, 1984). Οι εξισώσεις της κίνησης των πλανητών είναι μια εφαρμογή των Νευτώνειων νόμων και ως εκ τούτου τελείως ντετερμινιστικές. Το ότι αυτές οι μαθηματικές εξισώσεις των τροχιών είναι ντετερμινιστικές σημαίνει ότι γνωρίζοντας τις αρχικές συνθήκες,- οι οποίες στην περίπτωση αυτή είναι οι θέσεις και οι ταχύτητες των πλανητών μια δεδομένη αρχική στιγμή - μπορούμε να βρούμε τις θέσεις και τις ταχύτητες των πλανητών σε κάθε άλλη χρονική στιγμή στο μέλλον ή στο παρελθόν (Kyburg, 1984).

Μέχρι τον καιρό του Poincare, η έλλειψη απόλυτης ακρίβειας στις αστρονομικές προβλέψεις θεωρείτο πρόβλημα μικρής σημασίας.. Η υπόθεση ήταν ότι αν μπορούσαμε να ελαττώσουμε την απροσδιοριστία στις αρχικές συνθήκες - ίσως χρησιμοποιώντας τελειότερα όργανα - η ανακρίβεια στην πρόβλεψη θα ελαττωνόταν κατά τον ίδιο τρόπο.  Η βασική επιστημονική αποδοχή ήταν ότι θέτοντας περισσότερο ακριβείς πληροφορίες στους νόμους του Νεύτωνα, θα υπήρχε η δυνατότητα για πιο ακριβή αποτελέσματα μεταγενέστερου ή πρότερου χρονικού διαστήματος. Έτσι υπέθεταν όλοι, ότι θεωρητικά ήταν δυνατόν να πετύχουμε σχεδόν τέλειες προβλέψεις για τη συμπεριφορά κάθε φυσικού συστήματος (Shapiro, 1983).

Ο Pοincare όμως παρατήρησε ότι ορισμένα αστρονομικά συστήματα δεν φαίνονταν να υπακούουν τον κανόνα ότι ελαττώνοντας την απροσδιοριστία των αρχικών συνθηκών ελαττωνόταν επίσης κατά αντίστοιχο τρόπο η απροσδιοριστία της τελικής πρόβλεψης. Εξετάζοντας τις μαθηματικές εξισώσεις αυτός βρήκε ότι αν και ορισμένα απλά αστρονομικά συστήματα υπάκουαν στον κανόνα των αντίστοιχων ελαττώσεων των απροσδιοριστιών για τις αρχικές συνθήκες και τις τελικές προβλέψεις, άλλα συστήματα δεν υπάκουαν σε αυτόν (Weatherford, 1982). Τα αστρονομικά συστήματα που δεν υπάκουαν σε αυτόν τον κανόνα αποτελούνταν τυπικά από τρία ή περισσότερα αστρονομικά σώματα με αλληλεπιδράσεις μεταξύ και των τριών. Γι αυτούς τους τύπους συστημάτων ο Poincare έδειξε ότι μια πολύ μικρή ανακρίβεια στις αρχικές συνθήκες, αυξανόταν με τον χρόνο με τεράστιο ρυθμό. Έτσι δύο σχεδόν πανομοιότυπα σύνολα αρχικών συνθηκών για το ίδιο σύστημα, θα κατέληγαν σε δύο τελικές προβλέψεις οι οποίες διέφεραν πάρα πολύ η μία από την άλλη (Shapiro, 1983, Lucas, 1984).

Ο Poincare απέδειξε μαθηματικά ότι αυτή η μεγέθυνση μικρών απροσδιοριστιών στις αρχικές συνθήκες σε τεράστιες απροσδιοριστίες στις τελικές προβλέψεις, παρέμενε ακόμα και αν οι αρχικές αβεβαιότητες μίκραιναν στο πιο μικρό μέγεθος που μπορούσαμε να φανταστούμε. Για αυτά τα συστήματα δηλαδή, ακόμα και αν μπορούσαμε να καθορίσουμε τις αρχικές μετρήσεις εκατό φορές ή ένα εκατομμύριο φορές ακριβέστερα, η αβεβαιότητα για μεταγενέστερους ή προηγούμενους χρόνους δεν θα ελαττωνόταν αλλά θα παρέμενε τεράστια (Shapiro, 1983, Kyburg, 1984, Lucas, 1984).

Το συμπέρασμα της μαθηματικής ανάλυσης του Poincare ήταν μια απόδειξη ότι ο μόνος τρόπος να πετύχουμε προβλέψεις με κάποιο βαθμό ακρίβειας για τα σύνθετα συστήματα, θα ήταν να καθορίσουμε τις αρχικές συνθήκες με άπειρο βαθμό ακρίβειας. Για αυτά τα αστρονομικά συστήματα κάθε ανακρίβεια, οσοδήποτε μικρή, θα κατέληγε μετά από ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα σε μια αβεβαιότητα της ντετερμινιστικής πρόβλεψης, η οποία μόλις που θα ήταν μικρότερη αν η πρόβλεψη είχε γίνει εντελώς τυχαία (Weatherford, 1983, Lucas, 1984).

Η ακραία ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες, η οποία παρουσιάζεται μαθηματικά στα συστήματα που μελέτησε ο Poincare έχει επικρατήσει να λέγεται δυναμική αστάθεια ή απλά χάος. Επειδή μακροχρόνιες μαθηματικές προβλέψεις που αφορούν χαοτικά συστήματα δεν έχουν περισσότερη ακρίβεια από τις  τυχαίες προβλέψεις, οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να δώσουν μόνο βραχυχρόνιες προβλέψεις που να έχουν όποιο βαθμό ακρίβειας επιθυμούμε.

Ο Poincare, προσπαθώντας να λύσει το πρόβληµα του μαθηματικού συσχετισμού των κινήσεων τριών ουράνιων σωµάτων Γη, Ήλιος και Σελήνη, που είχε τεθεί το 1887 µε έπαθλο 2500 κορώνες από τον Βασιλιά Όσκαρ της Σουηδίας, ανακάλυψε κάτι πραγµατικά εντυπωσιακό: ότι δηλαδή, οι εξισώσεις της Κλασσικής Μηχανικής, για το πρόβληµα αυτό, ήταν αδύνατον να λυθούν αναλυτικά µε τις ως τότε γνωστές µαθηµατικές µεθόδους. Ο Poincare κέρδισε το έπαθλο, αλλά η ανακάλυψη που είχε κάνει ήταν πολύ πιο σηµαντική και θεμελιώδης από την απόδειξη της µη επιλυσιµότητας του προβλήµατος τριών σωµάτων. Ουσιαστικά αυτό που απέδειξε ο Poincarè ήταν ότι ακόµα και στα πιο απλά προβλήµατα της Μηχανικής και της Αστρονομίας, διαθέτουν στο χώρο φάσεων τους περιοχές όπου οι λύσεις (ή τροχιές) εξαρτώνται εξαιρετικά ευαίσθητα από την επιλογή των αρχικών συνθηκών (Shapere, 1982, Lucas, 1984).

Αυτό σημαίνει ότι ακόμα και τα απλούστερα ντετερμινιστικά συστήµατα της Φυσικής που περιγράφονται από µη γραµµικές εξισώσεις και κινούνται σε ένα χώρο φάσεων τριών τουλάχιστον διαστάσεων, έχουν περιοχές όπου οι τροχιές τους είναι έντονα ασταθείς, ώστε ακόµα και ελάχιστες αλλαγές στην αρχική κατάσταση οδηγούν σε τεράστιες αλλαγές στην εξέλιξη της κίνησης. Οι περιοχές αυτές ονομάστηκαν, εβδομήντα χρόνια αργότερα, χαοτικές και η έντονη αστάθεια που τις χαρακτηρίζει, χάος.

Αν και η εργασία του Poincare θεωρήθηκε σημαντική από μερικούς διορατικούς φυσικούς του καιρού του, θα περνούσαν πολλές δεκαετίες πριν οι συνέπειες των ανακαλύψεών του να εκτιμηθούν από την επιστημονική κοινότητα συνολικά. Ένας λόγος ήταν ότι αρκετό μέρος της επιστημονικής κοινότητας των φυσικών ήταν απασχολημένο με τις νέες ανακαλύψεις στον καινούριο κλάδο της φυσικής, την κβαντομηχανική, η οποία είναι η φυσική στον ατομικό κόσμο (Shapere, 1982, 1989).

 


[1] Γάλλος μαθηματικός, αστρονόμος και φιλόσοφος (1854- 1912). Υπήρξε λέκτορας στο πανεπιστήμιο της Καν και της Σορβόννης. Διορίστηκε καθηγητής στην έδρα της Φυσικής, της Πειραματικής Φυσικής, της Μαθηματικής Φυσικής, του λογισμού των Πιθανοτήτων και της Ουράνιας Μηχανικής στη Σορβόννη. Από το 1887 ήταν μέλος της Ακαδημίας των Επιστημών, από το 1893 μέλος του γραφείου Μέτρων και Σταθμών και από το 1908 μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας.

[2] Είχε προκηρυχθεί μαθηματικός διαγωνισμός το 1887, από το βασιλιά Oscar της Σουηδίας, με έπαθλο 2500 κορώνες. Το αντικείμενο του διαγωνισμού ήταν να διασαφηνιστούν οι μαθηματικές σχέσεις που διέπουν τις κινήσεις της Γης του Ήλιου και της Σελήνης.

 

Επαφή

Et ego in Arcadia sum

efthimiopoulos@hotmail.com

Αναζήτηση στο site

© 2013 Όλα τα δικαιώματα κατοχυρωμένα

Φτιάξε δωρεάν ιστοσελίδαWebnode