ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Ο ΕΓΚΕΦΑΛΟΣ

 

Αθανάσιος Φωκάς

Πριν αρχίσει η μελέτη της λειτουργίας του εγκεφάλου ήταν απαραίτητη η μελέτη των περιφερειακών νευρικών κυττάρων. Σε αυτή την μελέτη η συνεισφορά των μαθηματικών υπήρξε σημαντική. Για παράδειγμα, ο Huxley και Hodgkin από το Cambridge, πήραν το βραβείο Nobel στην Ιατρική το 1963 για την άκρως μαθηματική τους μελέτη του μηχανισμού διάδοσης παλμών στους περιφερειακούς νευρώνες. Το μαθηματικό τους μοντέλο στηρίχθηκε στην υπόθεση ύπαρξης ιοντικών πυλών, γεγονός που επαληθεύθηκε πολύ αργότερα πειραματικά με την μέτρηση απειροελαχίστων ιοντικών ρευμάτων από τους Sakmann και Neher (βραβείο Nobel 1991).

Όσον αφορά στον εγκέφαλο, τα εκπληκτικά επιτεύγματα στην γενετική, στην μοριακή βιολογία, στις υπολογιστικές προσομοιώσεις και στις απεικονιστικές τεχνικές, οδήγησαν στην ανακήρυξη της δεκαετίας του 1990 σαν την «Δεκαετία του Εγκεφάλου». Ο ρόλος των μαθηματικών στις υπολογιστικές προσομοιώσεις είναι πρωφανής. Κατά συνέπεια θα εστιαστώ στην σπουδαιότητα των μαθηματικών στις απεικονιστικές τεχνικές, αρχίζοντας από την αξονική τομογραφία. Αυτή είναι η υπολογιστική ανακατασκευή μιας συγκεκριμένης μαθηματικής συνάρτησης, που λέγεται «συντελεστής απόσβεσης ακτινών Χ», και που αντανακλά την πυκνότητα των ιστών. Ο Allan Cormack, που ανακάλυψε τον αξονικό τομογράφο, στην ομιλία του κατά την απονομή του Nobel το 1979, αναφέρει: «Ήταν προφανές ότι το πρόβλημα της αξονικής τομογραφίας είναι καθαρά ένα μαθηματικό πρόβλημα». Και στη συνέχεια εξηγεί ότι αυτό το μαθηματικό πρόβλημα συνίσταται στην εύρεση μιας συνάρτησης από την γνώση του ολοκληρώματος της, κατά μήκος μιας ευθείας. Αυτό το ολοκλήρωμα ονομάζεται μετασχηματισμός Radon. Κατά συνέπεια το βασικό μαθηματικό πρόβλημα της αξονικής τομογραφίας είναι η εύρεση μιας συνάρτησης από την γνώση του αντίστοιχου μετασχηματισμού Radon. Η ανακάλυψη του αξονικού τομογράφου και αργότερα του μαγνητικού τομογράφου, για την ανακάλυψη του οποίου απενεμήθη το Nobel στον Sir Peter Mansfield το 2003, επέτρεψαν για πρώτη φορά την απεικόνιση της ανατομίας του εγκεφάλου. Η απεικόνιση της λειτουργίας του εγκεφάλου αρχίσε να γίνεται δυνατή πολύ αργότερα με την ανακάλυψη τριών καινούριων απεικονιστικών τεχνικών: του λειτουργικού μαγνητικού τομογράφου, του τομογράφου εκπομπής πρωτονίων (Pet) και του τομογράφου εκπομπής φωτονίων (Spect). Είναι καταπληκτικό ότι σήμερα μπορούμε να παρατηρούμε τον εγκέφαλο εν λειτουργία με ολοένα και μεγαλύτερη ακρίβεια.

Το Pet και το Spect στηρίζονται στο γεγονός ότι ο εγκέφαλος σαν πηγή ενέργειας χρησιμοποιεί μόνο γλυκόζη και όχι λίπη και πρωτεΐνες. Τα πιο ενεργοποιημένα κύτταρα καταναλώνουν πιο πολύ γλυκόζη, κατά συνέπεια αν έχουμε τρόπο να παρακολουθούμε την τοπική κατανάλωση γλυκόζης, τότε μπορούμε να ξέρουμε ποιες περιοχές του εγκεφάλου, είναι πιο ενεργοποιημένες.

Ποιός είναι ο ρόλος των Μαθηματικών στο Pet και στο Spect? Καθοριστικός. Λόγω κάποιας τυχαίας απλοποιήσεως, τα μαθηματικά του Pet είναι ακριβώς τα ίδια με αυτά του αξονικού τομογράφου. Τα μαθηματικά όμως του Spect είναι πολύ πιο δύσκολα. Συγκεκριμένα το Spect στηρίζεται στον εξασθενούμενο μετασχηματισμό Radon, για τον οποίον το πρόβλημα της αντιστροφής παρέμεινε μέχρι προσφάτως άλυτο. Συνέπεια αυτής της μαθηματικής δυσκολίας είναι ότι η υψηλή ανάλυση (ακρίβεια) του Spect δεν είναι τόσο καλή όσο του Pet. Προσφάτως κατορθώσαμε να λύσουμε το μαθηματικό αυτο πρόβλημα, και αυτό έχει οδηγήσει σε ένα καινούργιο, πιο γρήγορο και πιο ακριβή αλγόριθμο.
Οι εφαρμογές των Pet και Spect είναι τόσο πολυάριθμες που θα χρειαζόμουν αρκετές διαλέξεις για να αναφέρω μόνο μερικές από αυτές. Υπάρχουν σημαντικές εφαρμογές από την διάγνωση της σχιζοφρένειας και της νόσου Αλσχάϊμερ, μέχρι την διαλεύκανση της ημικρανίας και της επιληψίας. Ενδεικτικά αναφέρω ότι σημαντικότατο ρόλο στην λειτουργία του εγκεφάλου παίζουν ορισμένες ουσίες που ονομάζονται νευροδιαβιβαστές, για παράδειγμα η ντοπαμίνη και η σεροτονίνη. Είναι δυνατή η μελέτη διαφόρων νευροδιαβιβαστών in vivo με σημαντικά αποτελέσματα στην νευροφαρμακολογία. Για παράδειγμα, τώρα γνωρίζουμε ότι στην σχιζοφρένεια υπάρχει χαμηλότερη δράση ντοπαμίνης στο προ-μετοπικό φλοιό (που οδηγεί στα λεγόμενα αρνητικά συμπτώματα όπως επιπεδότητα συναισθημάτων) και υψηλότερη δράση στις υποφλοιώδεις και βαθύτερες περιοχές (που οδηγεί στα θετικά συμπτώματα όπως ψευδαισθήσεις και ανωμαλίες κινήσεως). Επίσης με αυτό τον τρόπο δυνάμεθα να παρακολουθούμε αν η μεταμόσχευση κυττάρων στον εγκέφαλο ασθενών Παρκινσον παράγουν ντοπαμίνη.

Πρέπει να τονισθεί ότι αυτές οι καινούριες καταπληκτικές τεχνικές όχι μόνο βοηθούν στην κατανόηση του εγκεφάλου, αλλά είναι επίσης εξαιρετικά χρήσιμες σε πολλές περιοχές της Ιατρικής, από την Νευρολογία και την Ψυχιατρική μέχρι την Ογκολογία και την Καρδιολογία. Για παράδειγμα, μια πρόσφατη μελέτη στην Αγγλία, έδειξε ότι μια στις 4 εγχειρίσεις για καρκίνο του πνεύμονος αντενδείκνυτο γιατι υπήρχαν ήδη μεταστάσεις που ενώ δεν τις έβλεπε ο αξονικός τομογράφος τις έβλεπε το Pet. Νομίζω ότι όπως σήμερα δεν μπορούμε να διανοηθούμε την ιατρική χωρίς αξονικό και μαγνητικό τομογράφο, σε δέκα χρόνια δεν θα μπορούμε να διανοηθούμε την ιατρική χωρίς Pet και Spect.

Ο ανθρώπινος εγκέφαλος, από πλευράς λειτουργικότητας είναι η πολυπλοκότερη δομή στο γνωστό σύμπαν. Το μεγαλύτερο επίτευγμα του εγκεφάλου είναι το ότι δημιουργεί συνείδηση. Αλλά με ποιο τρόπο η ενεργοποίηση των νευρικών κυττάρων γεννά υποκειμενικές αισθήσεις, σκέψεις, μνήμες; Για την μελέτη της δυναμικής του εγκεφάλου, οι παραπάνω τεχνικές δεν είναι κατάλληλες γιατί είναι σχετικά αργές και δεν δίνουν αποτελέσματα σε πραγματικό χρόνο. Μία από της πιο σημαντικές τεχνικές για την μελέτη της δυναμικής του εγκεφάλου είναι η μαγνετοεγκεφαλογραφία. Για παράδειγμα, ο Edelman στο περίφημο βιβλίο του «Πώς η ύλη γίνεται ενόραση» καθώς και στο τελευταίο του βιβλίο, χρησιμοποιεί πειραματικά δεδομένα μόνο από μαγνετοεγκεφαλογραφία. Τα μαθηματικά της Μαγνητοεγκφαλογραφίας συνίστανται στην εύρεση του ηλεκτρικού πεδίου του εγκεφάλου από τη μέτρηση εκτός του κρανίου του αντίστοιχου μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί. Όπως όμως ήταν ήδη γνωστό από τον Helmholtz, το συγκεκριμένο μαθηματικό πρόβλημα δεν έχει μοναδική λύση. Ο ακριβής αναλυτικός προσδιορισμός αυτής της μη μοναδικότητος παρέμενε άλυτος από το 1860. Πρόσφατα, σε συνεργασία με τον Gelfand, αφενός μεν λύσαμε αυτό το πρόβλημα, αφετέρου δε δείξαμε ότι αν υποθέσουμε ότι το ρεύμα στον εγκέφαλο είναι τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιεί την ενέργεια, τότε η λύση είναι μοναδική και επίσης αναλυτική. Αυτή την περίοδο, προσπαθούμε να επεκτήνουμε αυτή την ανάλυση σε πιο ρεαλιστικό μοντέλο εγκεφάλου και να επαληθεύσουμε τον σχετικό αλγορίθμο χρησιμοποιώντας πραγματικά δεδομένα από το τμήμα Νευροχειρουργικής του Πανεπιστημιακού Νοσοκομείου του Texas.

Υπάρχει στενή σχέση μεταξύ φιλοσοφίας και μαθηματικών. Ιδιαίτερα: α) Ο Πλάτωνας, που τόνισε την σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Φιλοσοφίας, θεωρούσε τα Μαθηματικά σαν προπαρασκευαστικό μάθημα για την Φιλοσοφία. β) Υπάρχουν πολλές ομοιότητες μεταξύ Φιλοσοφίας και Μαθηματικών. Για παράδειγμα, είναι οι δύο πιο αφηρημένες επιστήμες, καθώς επίσης και στις δύο αυτές επιστήμες, η ορθολογικότητα παίζει κυρίαρχο ρόλο. γ) Η αναζήτηση της αλήθειας δια μέσου της επιστημονικής έρευνας αναπόφευκτα γεννά όλο και πιο βαθιά και πολυσύνθετα ερωτήματα, που με την σειρά τους οδηγούν στην τάση για μια ενοποιημένη αντιμετώπισή τους και κατά συνέπεια στην φιλοσοφία.


Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι πιο πολλοί από τους μεγάλους μαθηματικούς είναι Πλατωνιστές. Όπως είναι ευρύτατα γνωστό, ο Πλάτωνας μίλαγε για ένα κόσμο ιδεών ο οποίος υπάρχει ανεξάρτητα από εμάς σε μια άλλη πραγματικότητα. Οι Πλατωνιστές Μαθηματικοί πιστεύουν ότι σε αυτόν ακριβώς τον κόσμο κατοικούν και θεμελιώδεις μαθηματικές σχέσεις τις οποίες εμείς απλώς προσπαθούμε να ανακαλύψουμε. Δηλαδή, δεν δημιουργούμε αλλά ανακαλύπτουμε Μαθηματικά. Θα ήθελα να παρουσιάσω δύο επιχειρήματα υπέρ αυτής της απόψεως. α) Υπάρχει πειραματική επιβεβαίωση ότι οι βασικοί νόμοι της φύσεως εκφράζονται με μαθηματικές εξισώσεις. Για παράδειγμα οι νόμοι της Κβαντομηχανικής εκφράζονται με την περίφημη εξίσωση του Schrödinger και οι νόμοι της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητος με τις εξισώσεις του Einstein. Είναι επίσης γνωστό ότι επειδή οι δύο παραπάνω βασικές θεωρίες είναι ασυμβίβαστες, η μεγάλη πρόκληση σήμερα των θεωρητικών φυσικών είναι να ανακαλύψουν μια καινούρια θεωρία, την λεγόμενη «Θεωρία των Πάντων». Κατά συνέπεια ο συνάδελφός μου Steven Hawking στο Cambridge και άλλοι μεγάλοι θεωρητικοί φυσικοί προσπαθούν να ανακαλύψουν ένα καινούριο μαθηματικό φορμαλισμό που θα ενοποιεί όλες τις φυσικές αλληλοεπιδράσεις. Προφανώς αυτός ο μαθηματικός φορμαλισμός ήδη κατοικεί στο κόσμο του Πλάτωνα. Εδώ πρέπει να τονίσω ότι όσο πιο πολύ βαθαίνει η σχέση Μαθηματικών και Θεωρητικής Φυσικής τόσο και φαίνεται πιο καθαρά ότι σε μεγάλο βαθμό αποτελούν ένα ενιαίο σύνολο. Κατά συνέπεια τόσο πιο πολύ αποκτούν Πλατωνική υπόσταση, μεγάλες κατηγορίες αφηρημένων Μαθηματικών όπως η μη Riemanian Γεωμετρία, η Τοπολογία, η Αλγεβρική Γεωμετρία και η Θεωρία Αριθμών. β) Γνωρίζουμε ήδη από το 1931, βάσει του περίφημου θεωρήματος του Gödel πως καμία μαθηματική λογική δεν είναι πλήρης. Δηλαδή, δεν υπάρχει κανένα σύστημα, στο οποίο αρχίζοντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων τα οποία έχουμε επινοήσει (τους κανόνες λογικής αυτού του συστήματος) να μπορούμε να απαντήσουμε αν οποιαδήποτε πρόταση σε αυτό το σύστημα είναι αληθινή ή όχι. Αυτό συνήθως χρησιμοποιείται ως τεκμηρίωση της αδυναμίας των Μαθηματικών. Κατά την γνώμη μου όμως το θεώρημα του Gödel εκφράζει ακριβώς και το αντίθετο, ότι δηλαδή μέσα στα Μαθηματικά συστήματα υπάρχει περισσότερη πληροφορία, περισσότερη «αλήθεια» αν θέλετε, από αυτή που εμείς μπορούμε να αποδείξουμε. Για παράδειγμα, αφού αληθείς προτάσεις για τους θετικούς ακέραιους αριθμούς δεν μπορούν να αποδειχθούν με κανένα πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων, αυτό σημαίνει ότι αυτό το σύστημα περιέχει άπειρη πληροφορία. Μα αυτό ακριβώς είναι ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά της αντικειμενικής πραγματικότητας, η αδυναμία μας δηλαδή να την περιγράψουμε με πεπερασμένο αριθμό προτάσεων.

Τελειώνοντας, αναφέρω ότι τα Μαθηματικά χαρακτηρίζονται από ένα υψηλό επίπεδο πολυπλοκότητας το οποίο συγχρόνως εκδηλώνεται με μια ενδογενή βαθύτατη αισθητική. Ένας ώριμος μαθηματικός αφιερώνει το μεγαλύτερο χρόνο της ζωής του στο κόσμο των νοητικών αναπαραστάσεων, και αυτός ο κόσμος οδηγεί αναπόφευκτα στο κόσμο των ιδεών του Πλάτωνα. Όσο περισσότερο εμβαθύνει κανείς σε αυτό το νοητικό κόσμο, τόσο περισσότερο μαγεύεται από την ανείπωτη ομορφιά του και τόσο περισσότερο εκστασιάζεται από την ευχαρίστηση της ανακάλυψης. Αυτή η ευχαρίστηση αποτελέι μία από τις κινητίριες δυνάμεις της έρευνας.

© 2013 Όλα τα δικαιώματα κατοχυρωμένα

Φτιάξε δωρεάν ιστοσελίδαWebnode